No son bigotes de verdad. Son marcas de bigote, sólo marcas en su cara que se parecen a los bigotes.
Sí, esto tiene que ver con el kyuubi. Cuando Naruto fue influenciado por Kurama antes de nacer, obtuvo las marcas de los bigotes:
Las características físicas más prominentes de Naruto, sin embargo, son las marcas de los bigotes en su cara que obtuvo de la influencia de Kurama en él mientras estaba en el vientre de Kushina.
- Naruto Uzumaki, Naruto Wiki
La razón por la que la madre de Naruto no las tenía es porque son el resultado de una exposición prolongada (estar en el vientre) en lugar de que la bestia simplemente esté sellada dentro del huésped.
Los dos hijos de Naruto, Bolt e Himawari, tienen dos marcas de bigotes en cada mejilla, ninguno de ellos es un Jinchuuriki pero ambos son hijos del Jinchuuriki de Kurama, lo que implica que este es un rasgo hereditario.